La aplicación de los teoremas del álgebra permite
simplificar las funciones, reduciendo el número de puertas necesarias para su configuración;
en concreto, los teoremas más útiles para la simplificación son los de
idempotencia y absorción:- a+a = a
- a+a = 1
- a + a.b = a
- a+a.b = a + b
- a . a = a
- a . a = 0
- a.(a + b) = a
- a.(a + b) = a.b
y, en ocasiones, el teorema de consenso:
- a.b + a.c + b.c = a.b + a.c
Ejemplo
Y = d.c.b.a + d.c.b.a + d.c.b.a + d.c.b.a + d.c.b.a +
d.c.b.a + d.c.b.a
( x+x = 1 aplicado a las siguientes parejas de términos:
1º y 2º x=a; 3º y 4º x=b;
5º y 6º x=a ; 7º y 4º x=c , utilizando, en este último
caso, también, x=x+x)
Y= d.c.b + d.c.a + d.c.b + d.b.a
(d+d = 1 aplicado
a los términos 1º y 3º y sacando factor común en los otros dos)
Y = c.b + d.a.(c + b)
( aplicando el
teorema de Morgan al paréntesis del segundo término )
Y = c.b + d.a.(c.b)
(y, finalmente, el
teorema de absorción x+x.z = x + z aplicado a ambos términos)
Y = c.b + d.a
La aplicación directa de teoremas booleanos para simplificar
las funciones requiere una cierta habilidad, cuyos resultados dependen de la complejidad
de la función y de la experiencia e intuición de quien la realiza.
Existen métodos de simplificación que aportan una
formulación sistemática del proceso y que aseguran la máxima simplificación;
los más utilizados de ellos son el método gráfico de los mapas de Karnaugh, que
se describe a continuación, y el método algorítmico de Quine-McCluskey.
Los mapas de Karnaugh son el método habitual de simplificación
cuando se hace «a mano» y el número de variables de la función es pequeño (no
superior a 6). Para mayor número de variables se recurre a la ayuda del
computador, con programas de simplificación automática que suelen estar basados
en el algoritmo de QuineMacCluskey.
La simplificación
de una función por medio de los mapas de Karnaugh se realiza dibujando su tabla
de operación en un diagrama bidimensional según la estructura.
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