Teoremas y Postulados del Álgebra de Boole

Teoremas

Regla del cero y la unidad

Toda operación simple que involucre a un elemento con las variables binarias, queda definida:

• 0 + A = A
• 1 + A = 1
• 0 . A = 0
• 1 . A = A

Potencias iguales o idempotencia

Las operaciones entre variables iguales quedan definidas como:

• A + A = A
• A . A = A

Complementación

Toda operación entre una variable y su complemento queda definida como:

• A + NOT A = 1
• A . NOT A = 0

Involución o doble negación

Toda doble negación sera considerada como la variable natural.

• NOT (NOT A ) = A

Conmutativa

• A + B = B + A ; Conmutatividad de la suma.
• A . B = B . A ; Conmutatividad del producto.

Asociativa

• A + ( B + C ) = ( A + B ) + C = A + B + C ; Asociatividad de la suma.
• A . ( B . C ) = ( A . B ) . C = A . B . C ; Asociatividad del producto.

Distributiva

• A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C ) ; Distributividad de la suma con respecto al producto.
• A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A + C ) ; Distributividad del producto con respecto a la suma.

Leyes de absorción

Existen muchas leyes de absorción entre múltiples referencias, algunas de las más conocidas son:

• A . ( A + B ) = A
• A . ( NOT A + B ) = A . B
• NOT A ( A + B ) = NOT A . B
• ( A + B ) . ( A + NOT B ) = A
• A + A . B = A
• A + NOT A . B = A + B
• NOT A + A . B = NOT A + B
• A . B + A . NOT B = A

Teorema de Morgan

Son leyes de transformación, que manejan pares de variables que interactúan entre las operaciones definidas del álgebra booleana ( + . ).

• NOT ( A . B ) = NOT A + NOT B
• NOT ( A +B ) = NOT A . NOT B
• A + B = NOT ( NOT A + NOT B )
• A . B = NOT ( NOT A . NOT B )

Dualidad

Todos los postulados y teoremas poseen la facultad de la dualidad. Esto implica que al intercambiar las variables y operaciones se verifica la proposición resultante. Es decir ,que al intercambiar 0 por 1 y AND por OR o viceversa; se crea una expresión que también será completamente válida. Por ejemplo si se toma el postulado 1 . 0 = 0 Y se le aplica la dualidad 0 + 1 = 1 Se obtiene otro postulado perfectamente válido.

Postulados

Existen teoremas que rigen las leyes lógicas estructurales del álgebra booleana. De igual forma se tienen postulados para conocer los resultados posibles en diferentes combinaciones de variables binarias, según la operación que se realice.

Suma (+)

El operador OR cuyo elemento lógico es la unión (U) queda definido para variables binarias de la siguiente manera:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1

Producto (.)

El operador AND cuyo elemento lógico es la intersección (∩) queda definido para variables binarias de la siguiente manera:

• 0 . 0 = 0
• 0 . 1 = 0
• 1 . 0 = 0
• 1 . 1 = 1

Opuesto (NOT)

El operador NOT cuyo elemento lógico es el complemento (X)’ queda definido para variables binarias de la siguiente manera:

• NOT 0 = 1
• NOT 1 = 0

Muchos de los postulados difieren de sus equivalentes en el álgebra convencional. Esto es debido al dominio de las variables. Por ejemplo, la adición de elementos universo en álgebra booleana (1 + 1) no puede arrojar el resultado convencional de 2, debido a que no pertenece a los elementos del conjunto binario.